La esperanza matemática, denotada como $E(X)$ o $\mu_X$, sirve como la medida fundamental de tendencia central para una variable aleatoria. Representa el valor promedio a largo plazo obtenido en ensayos repetidos. Físicamente, es el centro de masa de una distribución de probabilidad, calculado como la suma ponderada por probabilidades de todos los resultados posibles.
Definiciones Formales
Para variables aleatorias discretas, definimos el valor esperado basado en la Función de Masa de Probabilidad (PMF):
Definición 3.1.1
Sea $X$ una variable aleatoria discreta. El valor esperado es:
$$E(X) = \sum_{x \in R^1} x P(X = x) = \sum_{x \in R^1} x p_X(x)$$
Definición 3.1.2
Si $X$ toma valores distintos $x_1, x_2, \dots$ con probabilidades $p_i$, entonces:
$$E(X) = \sum_i x_i p_i$$
La Ley del Estadístico Inconsciente (LOTUS)
Para hallar la esperanza de una variable transformada $g(X)$, no necesitamos derivar primero la densidad de $g(X)$.
Teorema 3.1.1 (LOTUS)
Para cualquier función $g$, el valor esperado de $g(X)$ es la suma de los valores de la función ponderados por las probabilidades originales:
$E(g(X)) = \sum_{x} g(x) P(X=x)$
Propiedades Principales
- Linealidad (Teorema 3.1.2): $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$. ¡Esta propiedad se cumple incluso si $X$ y $Y$ son dependientes!
- Monotonía (Teorema 3.1.4): Si $X(s) \le Y(s)$ para todos los resultados $s$, entonces $E(X) \le E(Y)$.
- Independencia (Teorema 3.1.3): Si $X$ y $Y$ son independientes, $E(XY) = E(X)E(Y)$.
Ejemplo 3.1.6: Indicadores
Para una función indicadora $I_A$, donde $X=1$ si ocurre $A$ y $0$ en caso contrario:
$E(I_A) = (1)P(A) + (0)P(A^c) = P(A)$